Lehrstuhl X

Chair X

Sternprodukte

Star Products

Unsere Arbeitsgruppe arbeitet weitgehend in der reinen Mathematik mit Fragestellungen aus der klassischen geometrischen Mechanik sowie der Quantentheorie. Insbesondere sind wir am übergang von klassischer Physik zur Quantenphysik interessiert. Etwas unpräzise und pauschal wird dieser übergang auch als Quantisierung bezeichnet, obwohl es hierfür weder einen gemeinhin akzeptierten Weg noch allgemein anerkannte Anforderungen an einen solchen gibt. Dies macht diese Thematik ein ideales Betätigungsfeld für die mathematische Physik, welche hier mit präziser Strukturanalyse der vorhanden physikalischen Ideen die eigentliche Fragestellung herausarbeiten und Vorschläge zu ihrer Lösung in Form von Existenz- und Klassifikationsresultaten geben kann. Erkenntnistheoretische Fragen schließen sich hier unmittelbar an: wieviel können wir aus dem Verständnis der klassischen Welt in die realistischere, in der Natur vorliegende Quantenwelt übertragen, wieviele Wahlen und Ungewissheiten müssen und dürfen wir in Kauf nehmen, um noch einen aussagekräftige Naturbeschreibung zu erzielen.

Our group mostly works in pure mathematics along topics from classical geometric mechanics and quantum mechanics.We are especially interested in the transition from classical to quantum physics. This transition is, somewhat vague and unprecise, called Quantization despite lacking a generally accepted method and even consensus on requirements for such. Those circumstances however ascertain the suitability of applying mathematical physics to this matter, allowing, through precise structural analysis of the physical ideas present, to carve out the underpinning issues and to suggest routes to their solution in the form of existence and classification results. Epistomological questions are directly affiliated hereto: How much of our understanding of the classical world can be transported over to the quantum side, how many choices and inaccuracies must and can be tolerated in order to still distill a sufficiently predictive model of nature?

Mathematische Physik

Die klassische Seite wird vor allem mit der differentialgeometrischen Sprache der geometrische Mechanik modelliert. Der Ausgangspunkt ist daher eine symplektische Mannigfaltigkeit als Phasenraum, der die Kinematik des klassischen Systems beschreibt. Da zunächst nur die Poisson-Klammer als wesentlichen Strukturmerkmal benutzt wird, lässt sich die symplektische Mannigfaltigkeit auch etwas allgemeiner durch eine Poisson-Mannigfaltigkeit ersetzen. Auf algebraischer Seite wird die Funktionenalgebra der (glatten) Funktionen auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit also zu einer Poisson-Algebra. Dies entspricht der klassischen Observablenalgebra.

The mathematical model of classical mechanics lies well within the realm of differential geometry. The starting point hence is a symplectic manifold modelling the phase space and describing the kinematic aspect of a classical system. Since the poisson bracket is the only significant structural component being used, one can readily generalize th setting by replacing symplectic manifolds by poisson manifolds. From an algebraic point of view, the algebra of smooth functions on a poisson manifold becomes a poisson algebra which corresponds to the classical algebra of observables.

Um die Quantenversion eines klassischen Systems zu verstehen, wählt man ebenfalls den Zugang über die Observablen. Diese bilden algebraisch eine *-Algebra, die nun aber nicht länger kommutativ ist. Vielmehr spiegeln sich in den Vertauschungsrelationen der Elemente der quantenmechanischen Observablenalgebra direkt die dem Experiment entnommenen Unschärferelationen der Quantentheorie wieder. Eine rein algebraische Beschreibung bleibt aber unvollständig, da für die Quantenphysik zudem die Spektren der Observablen und das Superpositionsprinzip von Zuständen mathematisch implementiert werden müssen. Um dies nun auf zufriedenstellende Weise zu erreichen, benötigt man verschiedenste Künste aus der Funktionalanalysis und dort insbesondere aus der Theorie der Operatoralgebren. Im Idealfall erhält man am Ende der Bemühungen eine C*-Algebra als Observablenalgebra zusammen mit einem guten Verständnis ihrer Darstellungstheorie durch Operatoren auf einem Hilbert-Raum.

To describe the quantum version of a classical system, an often preferred approach also uses observables. Those constitute a C*-algebra which, however, is no longer commutative. Rather, the commutation relations among the elements of this quantum observable algebra directly reflect the experimentally obtained uncertainty relations of quantum mechanics. Still, a purely algebraic description remains incomplete due to the need for spectra of observables as well as the superposition principle for physical states. A satisfactory implementation of those calls for various functional analytical and especially operator theoretical methods. In the ideal case these provide a C*-algebra as an algebra of observables together with a solid understanding of it's representation theory via operators on a hilbert space.

Eine Möglichkeit, aus einer klassischen Observablenalgebra nun einen Kandidaten für die Observablenalgebra der Quantentheorie zu gewinnen, besteht in der Deformation des Algebraprodukts: hier wird auf dem selben Vektorraum der klassischen Observablen ein neues, nun vom Planckschen Wirkungsquantum ℏ abhängigen, nichtkommutatives Produkt gesucht. Dieses soll der quantenmechanischen Multiplikationsvorschrift entsprechen. Der große Vorteil dieser Herangehensweise ist es nun, dass die physikalische Interpretation der Observablen auf der Quantenseite trivialerweise vorhanden ist: es sind schlicht die selben Observablen wie in der klassischen Theorie. Gerade dieser Aspekt ist in der Quantentheorie im allgemeinen keineswegs trivial. Es ist typischerweise nicht einfach zu sagen, welcher Operator nun welcher physikalischen Observable (also welcher Meßvorschrift) entspricht. Der Preis ist natürlich, dass man nun eine typischerweise recht komplizierte neue Multiplikation, das Sternprodukt, zu verstehen hat.

One possibility for obtaining a candidate algebra of quantum observables from a given algebra of classical observables is the deformation of the classical product: The central idea here is to search for a new, non-commutative product on the vector space of classical observables depending on planck's constant ℏ which shall correspond to the quantum mechanical multiplication. One substantial advantage of this approach is the now trivial physical interpretation of the quantum observables: They are just the very same observables as in the classical theory. Especially this aspect is highly nontrivial in general quantum theory. It is often not at all clear which operator represents which physical observable (i.e. which rule of measurement). In exchange this new, and typically quite complicated, multiplication, called star product, has to be understood.

Die wesentlichen Anforderungen an ein Sternprodukt sind nun, dass es assoziativ ist, da die Operatormultiplikation dies sicherlich ist, und dass es den korrekten klassischen Limes besitzt, sich für ℏ = 0 also auf das klassische, kommutative Produkt reduziert. Weiter soll in erster Ordnung von ℏ der Kommutator im Limes zur klassischen Poisson-Klammer werden. Dies ist eine Kompatibilität, die der Zeitentwicklung geschuldet ist, welche ja auf klassischer Seite mittels der Poisson-Klammer, auf quantentheoretischer Seite durch den Kommutator kodiert wird.

The essential requirements for such a star product are associativity, for the quantum multiplication surely is, while still guaranteeing the correct classical limit: Evaluated for ℏ = 0 the star product should reduce to the original, commutative product. Furthermore, in first order of ℏ, the classical limit should become the classical poisson bracket. This compatibility requirement is owed to the time evulution being encoded by the poisson bracket on the classical side and by the commutator in quantum theory.

Die Deformationsquantisierung versucht nun, diese physikalisch motivierten Anforderungen mathematisch umzusetzen. Hier gibt es verschiedene Zugänge, der einfachste geschieht, indem man das zu findende Sternprodukt als formale Potenzreihe in ℏ ansetzt. Physikalisch ist dies sicher nicht der Weisheit letzter Schluss, stellt aber ein mathematisch einfach zu handhabendes Modell dar. Die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften der formalen Sternprodukte erfolgt dann zu einem späteren Zeitpunkt. Es stellen sich nun die Fragen nach der Existenz und der Klassifikation von solchen formalen Sternprodukten. Hier gibt es mittlerweile eine sehr schöne und weitreichende Theorie: sowohl die Existenz auf allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeiten ist gesichert also auch die Klassifikation verstanden.

Deformation quantization is then an attempt to mathematically formalize these physically motivated needs. There are various avenues to take: The most straightforward one just models the star product as a formal power series in ℏ. While, physically, this approach certainly can not be the final answer, it however constitutes a mathematically manageable framework in which questions regarding existence and classification of star products are well posed. To this end a well rounded and far reaching theory has been established: Both the existence and the classification of star products on poisson manifolds has been ascertained and is well understood.

In unserer Arbeitsgruppe beschäftigen wir uns mit verschiedenen weiterführenden Themen in der Deformationsquantisierung. Diese seien hier kurz skizziert. Eine deutlich umfangreichere Einführung in die Deformationsquantisierung findet sich im Lehrbuch Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Etwas aktueller sind verschiedene Übersichtsartikel.

Our group mainly focused on several advanced topics in deformation quantization which shall be outlined here briefly. A significantly more comprehensive introduction to deformation quantization can be found in the book Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Somewhat more recent overviews can be found here.