Lehrstuhl X

Chair X

Warum Mathematische Physik?

Why mathematical physics?

Die mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation ebenso wie ihre Anwendung aus den verschiedensten Bereichen der Physik beziehen. Dabei kommen, entsprechend den physikalischen Anforderungen, die unterschiedlichsten Techniken und Disziplinen der Mathematik zum Einsatz.

Mathematical physics concerns itself with problems that are motivated by and have applications in various areas in physics. Accordingly, a plethora of mathematical techniques and fields of study, depending on the physical requirements, are employed.

Mathematische Physik

Sicherlich naheliegend sind die angewandteren Bereiche der Mathematik: zum einen benötigt man ausgefeilte statistische Methoden, um den zum Teil erheblichen Datenmengen moderner physikalischer Experimente Herr zu werden. Zum anderen müssen physikalische Fragestellungen modelliert und simuliert werden, was ebenfalls die angewandte Mathematik mit numerischen und anderen computergestützten Verfahren auf den Plan ruft. Die konkreten Beispiele hierfür sind vielfältig.

Certainly, those fiels contain the application oriented ones of mathematics: On the one hand, sophisticated statistical methods are needed to cope with the enormous datasets of modern physical experiments. On the other hand, physical issues have to be modelled and simulated, further demanding numerical and computational techniques from applied mathematics. Concrete examples are manifold.

Vielleicht etwas weniger offensichtlich ist, dass auch die reine Mathematik in der mathematischen Physik eine zentrale Rolle spielt. Viele physikalische Theorien entziehen sich (zumindest momentan) einer experimentellen überprüfung. Eine Methode,trotzdem sinnvolle Dinge über derartige Theorien aussagen zu können, ist dann, ihre konzeptionelle Struktur zu analysieren. Hier hat man es dann schnell mit strukturellen Fragestellungen zu tun, die ihrer Natur nach sehr tief in der reinen Mathematik anzusiedeln sind. Unter dieser Sorte von Fragestellungen sind differentialgeometrische (in der klassischen geometrischen Mechanik) und funktionalanalytische (in der Quantentheorie) sicherlich die naheliegenderen. Aber auch rein algebraische und nicht zuletzt sogar zahlentheoretische überlegungen spielen beim Verständnis moderner physikalischer Theorien eine wichtige Rolle.

Perhaps slightly less obvious is the central role of pure mathematics in mathematical physics. Numerous physical theories currently in discussion elude (at least for the time being) experimental validation. One method of extracting meaning from such a theory regardless is analyzing it's conceptional structure. Here one quickly enters the realm of problems rooting deeply in pure mathematics. Some more renowned of them are of differential geometrical (classical geometric mechanics) of functional analytic (quantum mechanics) nature. But also algebraic or even number theoretic considerations have their part in comprehending modern physical theories.

Mathematische Physik

Das reizvolle an der mathematischen Physik ist nun, dass man zum einen sicher sein kann, nicht-trivialen Fragestellungen zu begegnen, da diese ja mehr oder weniger unmittelbar aus der Physik entspringen und daher auf jeden Fall ihre Relevanz besitzen, mitunter eben konkrete Probleme der Naturwissenschaft darstellen. Zum anderen kann man sich bei der Beschäftigung mit einem Problem der mathematischen Physik vielerlei durchaus verschiedener Disziplinen der Mathematik bedienen. Dies ist dann auch inner-mathematisch von großem Interesse, da oftmals der wesentliche Fortschritt in der Wissenschaft an den Grenzflächen zwischen verschiedenen Teilgebieten stattfindet. So werden beispielsweise funktionalanalytische Fragestellungen der Physik plötzlich von einem geometrische Blickwinkel aus betrachtet und geometrische Probleme beinhalten reiche algebraische Strukturen, die ihrerseits neue physikalische Interpretationen erlauben. Für die mathematische Physik ist dieser interdisziplinäre Charakter quasi von Anfang an Bestandteil der Konstitution. Damit wird aber auch eine hohe Flexibilität und die Bereitschaft, sich neue Techniken und mathematische Teildisziplinen zu erschließen, fester Bestandteil des alltäglichen Arbeitens in der mathematischen Physik.

What makes mathematical physics quite attractive is, for one, the certainty of encountering non-trivial issues due to them emanating from physics and thus substanciating their relevance by posing concrete problems of the natural sciences. Furthermore, while pursuing issues in mathematical physics, one can draw from a multitude of mathematical fields of study. The latter is also of great inner-mathematical interest since significant advances often happen at the contact surface of different areas in mathematics. In this manner functional analytic issues in physics are viewed from a differential geometric perspective and rich algebraic structures are found in geometric problems which in turn lead to novel physical interpretations. Especially for mathematical physics, this interdisciplinary character is built into it's very foundations, allowing a high flexibility as well as promoting the willingness to acquire ever new mathematical tools and disciplines, an inherent part in the daily life of every mathematical physicist.

Die strukturelle Analyse von physikalischen Theorien mit Hilfe der mathematischen Physik schließt immer auch gewisse philosophische Aspekte mit ein: man wird schnell an Fragen herangeführt, die sich mit der Bewertung einer Theorie im Lichte der Erkenntnistheorie auseinandersetzen. Fragen nach der Vorhersagekraft, der Konsistenz und der Interpretation eines mathematischen Modells in der physikalischen Theorie sind hierfür typische Aufgabenstellungen.

The structural analysis of physical theories through mathematical physics also includes certain philosophical aspects: One is quickly lead to questions concerning the evaluation of theories in the light of epistomology. Typical manifestations of them consider predictability, concistency and interpretation of mathematical models of physical theories.