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Konvergenz von Sternprodukten

Da in der formalen Deformationsquantisierung ℏ nur als formaler Parameter angesehen wird, muss für eine physikalisch belastbare Theorie die Frage nach der Konvergenz beantwortet werden. Dies ist im allgemeinen eine sehr schwierige Problematik, da bekannt ist, dass das Sternprodukt für alle glatten Funktionen sicher nicht konvergieren kann. Daher muss eine geeignete Unteralgebra gefunden werden, für welche man dann die Konvergenz nachweisen kann. Diese sollte zum einen klein genug sein, damit man bei den Konvergenzbetrachtungen Erfolg hat, zum anderen muss sie groß genug sein, um alle relevanten physikalischen Observablen zu enthalten.

Darstellungstheorie von *-Algebren

Die Sternprodukte besitzen eine zusätzliche algebraische Struktur, die durch die komplexe Konjugation gegeben ist und eine *-Involution darstellt. Physikalisch ist dies von nicht zu überschätzender Wichtigkeit, da nur mit Hilfe dieser *-Involution die wirklich observablen Elemente der Observablenalgebra als die Hermiteschen Elemente ausgezeichnet werden können. Die *-Involution wird nun wichtig, wenn man versucht, die Observablenalgebren durch Operatoren auf Hilbert-Räumen darzustellen: man sucht nach einer *-Darstellung. Da die Sternprodukte nur formale Reihen in ℏ sind, muss auch der Begriff Hilbert-Raum an diese Situation angepasst werden: wir betrachten daher einen rein algebraischen Rahmen von *-Algebren über geordneten Ringen und deren *-Darstellungen auf Prä-Hilbert-Räumen über solchen Ringen. Die Algebren der Deformationsquantisierung bilden dann eine große und nichttriviale Beispielklasse, es treten aber auch andere Beispiele aus der reinen Mathematik ebenso wie aus der Quantenphysik auf, welche in diesem sehr allgemeinen Umfeld untersucht werden können.

Morita-äquivalenz und Picard-Gruppen

Eine klassische Fragestellung der Algebra lautet, was man über einen (nichtkommutativen) Ring erfahren kann, wenn man seine gesamte Darstellungstheorie kennt, also die Kategorie aller Linksmoduln. Die Antwort ist, dass zwei Ringe genau dann die gleiche Darstellungstheorie besitzen, wenn es einen Bimodul zwischen ihnen gibt, der gewisse explizite Eigenschaften besitzt. In diesem Fall spricht man von Morita-äquivalenz der Ringe. Im kommutativen Fall reduziert sich Morita-äquivalenz auf Isomorphie. Trotzdem ist es auch in diesem Fall interessant, da man sich fragen kann, auf wieviele Weisen ein Ring zu sich selbst Morita-äquivalent sein kann. Die Menge der Selbstäquivalenzen bildet eine Gruppe, die Picard-Gruppe des Rings. Im kommutativen Fall enthält sie die Automorphismen als eine Untergruppe, besitzt aber im allgemeinen noch weitere Elemente, die in guten Situationen einfache geometrische Interpretationen besitzen. Unser Interesse an der Morita-Theorie rührt nun daher, dass die Darstellungstheorie der Observablenalgebren, die als Deformationsquantisierung klassischer Systeme auftreten, verstanden werden sollen. Hierzu wurden vollständige Klassifikationsergebnisse erzielt, aktuelle Fragestellungen berücksichtigen zudem Symmetrieaspekte und den klassischen Limes.

Phasenraumreduktion von Sternprodukten

Besitzt ein klassisches mechanisches System viele Symmetrien, so entsprechen diese nach dem Noetherschen Theorem Erhaltungsgrößen. Eine konzeptuell klare Formulierung geschieht mit Hilfe einer Impulsabbildung. Das Festsetzen der Erhaltungsgrößen auf bestimmte Werte führt dann zur Phasenraumreduktion, die aus dem hoch-dimensionalen Phasenraum einen kleineren Phasenraum niedrigerer Dimension konstruiert, der dann aber typischerweise kompliziertere Geometrie aufweisen kann. Da dies auf klassischer Seite eine wichtige und äußerst erfolgreiche Konstruktion ist, will man ein Analogon auch auf Seite der Quantenphysik. Wir beschäftigen uns nun mit verschiedenen Konstruktionen zur Phasenraumreduktion von Sternprodukten und den resultierenden Eigenschaften der reduzierten Sternprodukte.

Deformationstheorie geometrischer Strukturen

Sternprodukte deformieren die kommutative Funktionenalgebra einer Mannigfaltigkeit in eine nichtkommutative Algebra. Die differentialgeometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit sind nun vollständig in den algebraischen Eigenschaften der Funktionenalgebra kodiert, so dass man bei der Deformation also von einer nichtkommutativen Mannigfaltigkeit sprechen kann. Dies erschließt nun völlig neue Betätigungsfelder der Deformationsquantisierung nämlich die nichtkommutative Geometrie. Wir beschäftigen uns nun mit der Frage, welche anderen geometrischen Strukturen man bei gegebenem Sternprodukt ebenfalls deformieren kann. Hier sind insbesondere Vektorbündel und auch allgemeinere Bündel wie etwa Hauptfaserbündel von Interesse, bilden diese doch die Basis für jede geometrische Formulierung von physikalischen Feldtheorien. Während Vektorbündel und Hauptfaserbündel sich immer als Rechtsmodul deformieren lassen und diese Deformationen sogar eindeutig bis auf Isomorphie sind, ist dies für kompliziertere geometrische Objekte nicht länger klar. Weiter untersuchen wir hier auch die Möglichkeiten, Bimodulstrukturen anstelle der Rechtsmodulstrukturen zu erhalten. Die Fragestellungen erfordern die Berechnung bestimmter Kohomologien, welche die Obstruktionen für die Deformierbarkeit beschreiben.

Sternprodukte jenseits von Quantisierung

Die mathematischen Strukturen der Deformationsquantisierung finden auch Anwendung jenseits der Quantisierungstheorie. Hier interessieren wir uns vor allem für die Schnittstelle zur nichtkommutativen Geometrie, wo die Raumzeit auf nichtkommutative Weise deformiert wird und dann (Quanten-) Feldtheorien darauf gesucht werden. Techniken der Deformationsquantisierung erweisen sich hierbei als äußerst nützlich und erfolgreich.

Sternprodukte in unendlichen Dimensionen

Während die Existenz- und Klassifikationsergebnisse für beliebige Poisson-Mannigfaltigkeiten mittlerweile gut verstanden sind, benötigt man für physikalische Feldtheorien unendlich viele Freiheitsgrade. Damit werden die klassischen Phasenräume unendlich-dimensional, womit viele Techniken aus der endlich-dimensionalen Differentialgeometrie nicht länger zur Verfügung stehen. Erste Untersuchungen und Beispiele legen nahe, dass der Einsatz deutlich trickreicherer analytischer Techniken nötig wird, auch in dieser Situation Sternprodukte konstruieren zu können. Wir interessieren uns hierbei vor allem für die Kombination mit dem Konvergenzproblem von Sternprodukten, was in unendlichen Dimensionen nicht gerade leichter wird, aber eine gute Richtschnur für interessante Fragestellungen und Konstruktionen darstellt.

Convergence of star products

Since in formal deformation quantization the ℏ is only viewed as a formal parameter, convergence properties have to be demonstrated to arrive at a physically credible theory. It is well known that star products cannot converge for all smooth functions, underlining the difficulty of this problem. Hence the need for a suitable subalgebra, for which convergence can be established, arises. On the one hand this subalgebra must be small enough to guarantee convergence, on the other hand it has to be large enough to contain all physically relevant observables.

Representation theory of *-algebras

Star products hold an additional algebraic structure, an *-involution, given by complex conjugation. Physically, it is of utmost importance since without, the truly observable elements of the observable algebra could not be recognized as precisely the Hermitian elements. This *-involution also impacts the representation theory of the observable algebra as operators on a Hilbert space: *-representations are sought-after. Additionally, since star products are formal series in ℏ, the theory of Hilbert spaces has to be adapted to this situation: Consequently a purely algebraic framework of *-algebras over ordered rings and their *-representations on Pre-Hilbert spaces are considered. Algebras from deformation quantization then constitute a large and nontrivial class of examples, but also other examples from pure mathematics as well as quantum physics appear that can be examined in this very general environment.

Morita equivalence and Picard groups

One classical problem in algebra asks what can be known about a non-commutative) ring from understanding it's representation theory or equivalently the category of it's left modules. The answer here is that two rings have identical representation theory if and only if there exists a bimodule between them which has certain explicit properties. In this case one calls those rings Morita equivalent. In the case of commutative rings, Morita equivalence reduces to just isomorphy. Even in this case however, it is still of major interest to understand in how many ways a ring can be Morita equivalent to itself. The set of all self-equivalences is equipped with a group-structure and is called the Picard group of a ring. In the commutative case the automorphisms are contained within as a subgroup, but in general there are additional elements which, in nice situations, allow for an easy geometric interpretation. Our interest in Morita theory stems from the desire to understand the representation theory of those observable algebras that appear as deformation quantizations of classical systems. While complete classification results have already been obtained, current research tries to incorporate symmetry aspects and the classical limit.

Phase space reduction of star products

It is well known from Noether's theorem that symmetries of classical systems correspond to conserved quantities. A conceptionally clear formulation can be accomplished via momentum maps. Specifying concrete values for conserved quantities then leads to phase space reduction which constructs from the high-dimensional original phase space one of a smaller dimension but typically more complicated geometry. Motivated by the significance and success of the classical situation, it is highly desirable to find an analogue in quantum physics. We concern ourselves with various constructions for phase space reduction and the resulting properties of their respective reduced star products.

Deformation theory of geometric structures

Star products deform the commutative algebra of function of a manifold into a non-commutative algebra. With the differential geometric properties of a manifold being completely encoded into the algebra of functions, the resulting deformation can be thought of as a non-commutative manifold, enabling a completely new scope for deformation quantization, namely non-commutative geometry. Immediately the question of which other geometrical structures can be deformed from a given star product. Of major interest here are vector bundles and other bundles, especially principal bundles since these are situated at the very heart of the geometric description of physical field theories. While vector and principal bundles can always be deformed as right modules, the situation for more complicated geometric objects is not at all clear. We furthermore try to obtain bimodule structures instead of the right module ones, requiring the calculation of certain cohomologies that obstruct deformability.

Star products beyond quantization

The mathematical structures involved in deformation quantization can also be used for applications beyond quantum theory. Special interest here is given to the interplay with non-commutative geometry where (quantum) field theories on a non-commutatively deformed space time are sought-after. Techniques from deformation quantization have proven to be very valuable and effective.

Star products in infinite dimensions

While existence and classification results for arbitrary Poisson manifolds are well understood, physical field theories require an infinite number of degrees of freedom, rendering classical phase space infinite-dimensional and thus many techniques from finite-dimensional differential geometry useless. First examples also show that distinctly more cunning analytical methods need to be employed to construct star products in this situation. Our focus here lies withing the combined problem of convergence properties of star products on infinite-dimensional manifolds, what, admittedly, complicates matters at first, but should serve as a guideline for compelling new problems and constructions.